В результате многочисленных проб и ошибок, замыканий и искр, решение всё-таки нашлось...
Отключение подсветки чаще всего вызвано сгоранием предохранителя. Предохранители бывают, как правило, одного одноразового вида: если он сгорел, значит контакт прервался окончательно, сколько по нему не стучи.

Поэтому, если у вас экран то горит, то не горит, то опять горит, значит дело не в предохранителе, а скорее всего в плохо закреплённом шлейфе, хотя это тоже признак того, что в следующий раз предохранитель обязательно сгорит.

Инструкция:

1. Итак, если вдруг вы обнаружили, что после включения PSP у вас экран не включается, но вы слишите звук включения и перемещения по меню. Нажатие кнопки подсветки ни к чему не приводит. Поднесите PSP к лампе и приглядитесь к экрану. Вероятно вы увидите изображение вашего меню под светом лампы:

2. Если вы убедились, что действительно PSP нормально работает, но подсветка не горит, значит надо разобрать PSP начиная от "Step 1" (Шаг 1) по порядку и закончив "Step 4" (Шаг 4).
Вы увидите на плате такой предохранитель с маркировкой FD

3. Вам нужно сделать перемычку из куска тонкой проволоки и замкнуть два конца сгоревшего предохранителя, как показано красным

4. Если вы впервые увидели паяльник, то имейте ввиду, что паяльник должен быть предварительно хорошо разогрет и мгновенно расплавлять олово при касании.
Концы проволоки-перемычки необходимо заранее подготовить, облудив их оловом.
Для прилипания олова к проволоке понадобиться канифоль или паяльная кислота.

После восстановления цепи питания подсветки, необходимо проверить работу экрана. Для этого, подключите шлейфы экрана на место. Убедитесь, что нигде ничего не замыкает, что не забыли отвёртку под платой, подключите к PSP питание.
При удачном стечении обстоятельств, вы увидите следующую картинку:

Если вы дочитали досюда, то узнаете о двух других предохранителях - один отвечающий за питание USB с маркировкой LD, а другой за питание самой PSP с маркировкой TD.

Таким образом вы узнали о наличии 3-ёх предохранилей на матплатах PSP.
Их перепутать невозможно, где бы они ни находились. Надеюсь повторять не стоит, как они по разному маркируются.

УДАЧИ!!!